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Sujet du devoir
1.Soit f : la fonction définié par f(x)=(cosx)/(1+x²). Montrer que f est croissante sur (-Pi/2 ; 0 ) et décroissante sur (0 ; pi/2). Montrer que f est bornée sur R.2. Soit f la fonction définie par f(x)=xcosx. f est-elle margorée ? minorée ?
Où j'en suis dans mon devoir
1. j'ai calculé la dérivé et j'ai trouvé f'(x)= (-sinx-sinx^3-2cosx²)/((1+x²)²)Et après je suis coincée. Je ne sais pas si c'était necessaire de calculer la dérivé.
3 commentaires pour ce devoir
2) f est ni majorée ni minorée
f est impaire donc il suffi de l'etudier sur R+
-1<=cosx<=1 multipliions par x, ça donne -x<=cosx<=x, x n'est pas majorée ni minorée donc f l'est aussi et puisque elle est impaire elle le sera aussi sur R-
bon travail.
f est impaire donc il suffi de l'etudier sur R+
-1<=cosx<=1 multipliions par x, ça donne -x<=cosx<=x, x n'est pas majorée ni minorée donc f l'est aussi et puisque elle est impaire elle le sera aussi sur R-
bon travail.
aaaah d'accord merci beaucoup !
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f'(x)=-[sinx(1+x^2)+2xcosx]/(1+x^2)^2
signe de f'(x)=signe de {-[sinx(1+x^2)+2xcosx]} (le numérateur)
donc pour déterminer le signe de f'(x) on procède comme suit;
* sur [-pi/2;0]
sinx(1+x^2) est< ou =0 (car sinx est
==> sur [-pi/2;0] f est croissante
**sur [0;pi/2]
sinx(1+x^2) est> ou =0 (car sinx est >ou=0)
aussi 2xcosx est> ou =0 (car cosx est >0 et x est >ou=0)
donc leurs somme est > ou = 0 <==> f'(x)est< ou =0 (du au signe (-) dans le numérateur)
==> sur [0;pi/2] f est décroissante
f est bornée en fait;on a -1<=cosx<=1
on multiplie par 1/(x^2+1) ça donne;
-1/(x^2+1)<=f(x)<=1/(x^2+1) (car 1/(x^2+1)>0)
or
0<=x^2
en revenant vers -1/(x^2+1)<=f(x)<=1/(x^2+1) ça devient;
(-1)<=-1/(x^2+1)<=f(x)<=1/(x^2+1)<=1
finalement; (-1)<=f(x)<=1 elle est bornée.