Calcul de dérivées (assez longues), continuité, affinité par morceau avec valeurs absolues, exponentielles...

Sujet du devoir

Premier devoir de l'année et déjà je bloque...

Exercice 1 : On pose f(x)= 2|x-1| + |2x+3|

1) Donner le domaine de définition de f.
2) Montrer que f est affine par morceaux, c'est-à-dire en simplifiant l'expression de f sur les intervalles de R déterminés par les bornes 1 et -3/2.
3) Tracer le graphe de f.

Exercice 2 : Soit f:x->racine[e^(4x)+1)/(e^(2x)-2)]

1) Donner le domaine de définition et de continuité de f.
2) Calculer la dérivée de f, quand elle existe.
3) Montrer que f'(x) est du signe de g(x)=e^(4x)-4e^(2x)-1. Etudier le signe du polynôme y²-4y-1 et en déduire les variations de f.
4) Montrer que f atteint un minimum pour x=(1/2)*ln[2x+racine(5)] qui vaut racine[4+2racine(5)]
5) Calculer les limites de f aux bornes de son domaine.

Où j'en suis dans mon devoir

Exercice 1 :
1) Df = R, je ne sais pas s'il y a à justifier, je pense que non.
2) Là j'ai pas compris comment on pouvait simplifier f sur [-3/2;1], j'ai trouvé que f(x)= 5 sur l'intervalle mais je sais pas comment le justifier. Faut-il étudier 2|x-1| et |2x+3| séparément ? Si oui comment ?
3) Pas compliqué ;)

Exercice 2 :
1) J'ai calculé e(2x)-2 = 0 <=> x = (ln2)/2 donc Df= R-{(ln2)/2}
2) Là j'ai un peu buggé mais après maints efforts j'ai trouvé :
f'(x)= (2e^(6x)-8e^(4x)-2e^(2x))*racine(e^(2x)-2) / (2(e^2x)²*racine(e^(4x)+1))
Ca parait un peu obscur mais pour l'instant je vois pas comment simplifier même si je pense que c'est possible.
3) En gros y= e^(2x) si j'ai bien compris, pas de difficulté majeure.
4) Je n'y suis pas rendu.
5) Idem.

Là où je bloque le plus c'est pour la 2) du 1, la simplification de la dérivée de l'exercice 2 et la question 3) du 2. Le reste je pense que je pourrai y arriver (sauf peut-être les limites).