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Sujet du devoir
Bonjour,
Quelqu'un peut-il m'aider avec ce problème ?
Soit f une fonction continue sur le segment [0,1] telle que pour tout x, f(x+3/10) est différent de f(x) et f(0) = f(1) = 0. Il faut montrer que f s'annule au moins 7 fois sur [0,1].
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai pensé à introduire la fonction g définie par g(x) = f(x+3/10) - g(x) mais je ne sais pas du tout comment continuer. :/
Merci d'avance pour votre aide.
6 commentaires pour ce devoir
Bonjour,
quel est le chapitre de l'exercice?
Bonjour!
Ton exercice me semble compliqué pour du niveau terminale...
Je vais essayer de t'aider un peu:
Oui, il est intéressant de considérer la fonction g continue sur [0;7/10] telle que :
g(x) = f(x+3/10)-f(x)
Comme f(x+3/10) est différent de f(x) alors g ne s’annule pas.
La fonction g est donc soit strictement positive, soit strictement négative.
Montre que g(0) = f(0+3/10)-f(0) = f(3/10) et g(7/10) = f(7/10+3/10)-f(7/10) = -f(7/10)
Ainsi, f(3/10) et f(7/10) sont de signes contraires (et non nuls car g ne s’annule pas).
Applique le théorème des valeurs intermédiaires —> il existe alpha sur [3/10;7/10] tel que f(alpha) = 0
On connait maintenant 3 racines: 0,1 et alpha.
Il faut en trouver 4 autres en raisonnant de manière similaire.
Exprime g(alpha) …
Puis à nouveau TVI —> il existe béta …
Peu être qu’il y a une solution plus courte mais je ne vois pas autrement...
En effet, cela m'aide beaucoup. Je n'avais pas pensé à appliquer le TVI. Merci infiniment pour votre réponse !
g(x) = f(x+3/10)-f(x)
Ils ont besoin d'aide !
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Bonjour,
Es-tu sur de l’énoncé? la fonction f(x) = x + 1 vérifie les hypothèses mais ne s'annule pas..
En effet. On a de plus f (0) = f (1) =0