DM Proba + suite

Sujet du devoir

Exo1

Partie A :

Partie B

une pipette est dite conforme si sa contenance est comprise, au sens large entre 98ml et 102ml.

la probabilité pour qu'une pipette soit non conforme est p=0,05

On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de tailles 150. On suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme indépendants.

Soit X la variable aléatoire qui à chaque échantillons de taille 150 associe le nombre de pipette son conformes de l'échantillon .

1) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X? 

2) calculer la probabilité qu'au moins 10 pipettes de l'échantillon soient non conformes. Donner le résultat arrondi au millième. 

3) combien de pipettes non conformes trouve t on en moyenne dans un échantillon de 150 pipettes?

exo3 

On considère la suite (Un) définie sur N par : U0= 1 et Un+1= 1/2*Un+n-1

1) 

a) Démontrer par récurrence que pour tout entier Naturel n supérieur ou égal à 3, Un≥0

b) On a concu l'algorithme suivant où la variable M désigne un nombre réel. Si la variable M contient la valeur 3 avant l'éxécutuion de cet algorithme, que contient la variable n à la fin de son exécution ? 

"u <-1

n <-0

tant que u<M

u <- (1/2)u+n-1

n <- n+1

Fin Tant que"

c) On a fait fonctionner cet algorithme avec différents valeurs de M et on a obtenu les valeurs de n suivantes, en déduire une conjecture sur le comportement à l'infini de la suite (Un)

entrée 10  100  1000  10000

sortie   8    53    503    5003

d) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 4 : Un≥n-2

e) En déduire la limite de la suite (Un)

2) On définit la suite (Vn) sur N par : Vn=4Un-8n+24

 a) démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.

b) Exprimer Vn en fonction de n et en déduire que, pour tout entier naturek n: Un= (7/2^n)+2n-6 

c) Vérifier que, pour tout entier naturel n, Un= xn+yn où (xn) est une suite géométrique et (yn) une suite arithmétique, dont on précisera pour chacune le premier terme ainsi que la raison

d) En déduire l'expression de Sn= U0+U1+...+Un en fonction de l'entier nature n.

Où j'en suis dans mon devoir

j'ai déjà fait la partie A