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Sujet du devoir
Bonjour à tous,J'ai un DM à rendre pour le 27 avril, je l'ai commencé mais j'ai quelques difficultés à faire quelques questions :
Pour l'exercice 1 voici l'énnoncé :
Sur le marché national d'un pays fictif, " Ecoland " la production en l'an 1 d'un certain bien X est de 12000 unités, avec une perspective d'augmentation de 2% chaque année, par rapport à l'année précédente.
Dans ce pays, la consommation de ce bien X, toujours en l'an 1, est de 10000 unités, avec une perspective d'augmentation de 5% chaque année, par rapport a l'année precedente.
Calculer en quelle année n la consommation dépassera pour la premiere fois la production.
Pour l'exercice 2 :
Voici l'énnoncé :
Un salarié remarque qu'il lui reste chaque mois 200 euros de son salaire mensuel.
Il décide donc, en 2008 de réaliser une epargne prudente, de la facon suivante : Le 28 de chaque mois il verse 50% du solde de son compte courant sur un plan d'épargne. Le solde est nul le 28 décembre 2007.
Le 28 janvier 2008 le solde de son compte courant est S1=200 euros , il verse donc la somme e1 = 100 euros sur son plan d'épargne et laisse 100 euros sur son compte courant. Le 28 février 2001, le solde est S2 = 300 euros. Il verse donc e2=150 euros sur son plan d'épargne.
1) calculer e3 et e4
2) on donne en+1 = 1/2(en+200) et Vn = 200-en
demontrer que la suite est géométrique.
3) en déduire l'expression de Vn en fonction de n :
4) Calculer v1+v2......v12
5) exprimer en en fonction de n :
6) trouver le montant de la somme capitalisée sur le plan d'épargne au 29 décembre 2008.
Merci pour votre aide et votre correction ;)
Où j'en suis dans mon devoir
exercice 1 :J'en ai donc déduis cette équation : ( 10000*1,05^n) > ( 12000*1,02^n)
Je trouve donc : 1,05^n > 1,2 * 1,02^n que je n'arrive pas à réssoudre.
exercice 2 :
1) j'ai fait 100*1,5² = 225 euros et 100*1,05^3 = 337,5 euros
2) J'ai fait : Vn+1 = 200-1/2en-100 = -1/2en+100 = 1/2Vn
3) j'ai fait 100*1/2^n.
4) je trouve environ 200.
5) j'ai fait : 100*1,5^n
6) je n'y arrive pas.
6 commentaires pour ce devoir
-Oui mais pour e3 et e4 ce sont bien les versement et non pas la somme.
-en+1 désigne le montant théorique du versementdu compte courant au plan d'épargne mais vn je ne sais pas.
-la somme somme par contre je compte 11 termes et 200 me parait bizard aussi.
et pour 5) exprimer en en fonction de n je fait donc la suite pour le montant du versement je fait donc 100 * 1,5^n soit le premier versement * 50%.....
-en+1 désigne le montant théorique du versementdu compte courant au plan d'épargne mais vn je ne sais pas.
-la somme somme par contre je compte 11 termes et 200 me parait bizard aussi.
et pour 5) exprimer en en fonction de n je fait donc la suite pour le montant du versement je fait donc 100 * 1,5^n soit le premier versement * 50%.....
S est le solde sur le compte courant et e la somme versé sur l'épargne: S1=200 e1=100 il reste S1=100; S2=100+200=300 e2=150 il reste S2=150; S3=150+200=350 e3=175 il reste S3=175; S4=175+200=375 e4=187.5.
J'ai vérifié avec e(n+1)=1/2(en+200), je retrouve mes valeurs.
Somme: V1+V2+V3+V4+V5+V6+V7+V8+V9+V10+V11+V12: 12 termes
comme on ne part pas de V0, on fait n termes avec n=12
Vn=200-en: 200 c'est ce qui reste du salaire et en c'est la somme prélevée. on fait la différence. on regarde à quel moment la somme mise en épargne devient supérieure au salaire.
Vn est décroissante: 100, 50, 25, 12.5, ... et tend vers 0 car en est croissante et se rapproche de 200.
sur une année: l'addition des différences mensuelles donne le salaire.
5) Vn=200-en
=> en= 200-Vn
en= 200 - 100*(1/2)^(n-1)
je vérifie: pour n=2 e2=150 (1)
e2= 200 -100*(1/2)^(2-1)
e2= 200-100*(1/2)
e2= 200-50=150, ok
pour n=3 e3=175 (1)
e3= 200 -100*(1/2)^(3-1)
e3=200 -100*(1/2)²
e3=200-25
e3=175, ok
pour n=4 e4=187.5 (1)
e4=200 -100*(1/2)^(4-1)
e4=200 -100*(1/2)³
e4=200-12.5
e4= 187.5, ok
6) somme total sur le plan épargne:
e1+e2+e3+e4+e5+e6+e7+e8+e9+e10+e11+e12= ...
J'ai vérifié avec e(n+1)=1/2(en+200), je retrouve mes valeurs.
Somme: V1+V2+V3+V4+V5+V6+V7+V8+V9+V10+V11+V12: 12 termes
comme on ne part pas de V0, on fait n termes avec n=12
Vn=200-en: 200 c'est ce qui reste du salaire et en c'est la somme prélevée. on fait la différence. on regarde à quel moment la somme mise en épargne devient supérieure au salaire.
Vn est décroissante: 100, 50, 25, 12.5, ... et tend vers 0 car en est croissante et se rapproche de 200.
sur une année: l'addition des différences mensuelles donne le salaire.
5) Vn=200-en
=> en= 200-Vn
en= 200 - 100*(1/2)^(n-1)
je vérifie: pour n=2 e2=150 (1)
e2= 200 -100*(1/2)^(2-1)
e2= 200-100*(1/2)
e2= 200-50=150, ok
pour n=3 e3=175 (1)
e3= 200 -100*(1/2)^(3-1)
e3=200 -100*(1/2)²
e3=200-25
e3=175, ok
pour n=4 e4=187.5 (1)
e4=200 -100*(1/2)^(4-1)
e4=200 -100*(1/2)³
e4=200-12.5
e4= 187.5, ok
6) somme total sur le plan épargne:
e1+e2+e3+e4+e5+e6+e7+e8+e9+e10+e11+e12= ...
alors quel est la formule pour calculer e3 et e4 et quel est l'expression de Vn en fonction de n ? svp je n'ai pas compris cela.
et comment faire e1+......+e12 ?
pour la question 1: il faut appliquer le raisonement présenté dans l'énoncé (comme ils font pour e1 et e2)
Vn en fontion de n: tu as trouvé!
Vn est une suite géométrique de raison q=1/2 et de premier terme V1=100
donc Vn= V1 * q^(n-1)
Vn= 100*(1/2)^(n-1)
si on avait V0, on écrirait Vn= V0*q^n (formule du cours)
somme e1+...+e12: d'après mes calculs, en est ni arithmétique ni géométrique, je ne trouve donc pas de formule à appliquer...
à part calculer e5, e6, e7,... puis tout additionner, je ne vois pas comment on peut faire.
Vn en fontion de n: tu as trouvé!
Vn est une suite géométrique de raison q=1/2 et de premier terme V1=100
donc Vn= V1 * q^(n-1)
Vn= 100*(1/2)^(n-1)
si on avait V0, on écrirait Vn= V0*q^n (formule du cours)
somme e1+...+e12: d'après mes calculs, en est ni arithmétique ni géométrique, je ne trouve donc pas de formule à appliquer...
à part calculer e5, e6, e7,... puis tout additionner, je ne vois pas comment on peut faire.
Ils ont besoin d'aide !
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as-tu vu les logarithmes? si oui, il faut les utiliser pour résoudre ton inéquations de l'exo 1
1.05^n > 1.2*1.02^n
ln(1.05^n) > ln(1.2*1.02^n)
exo2
je ne trouve pas pareil pour e3 et e4...
S3= 150+200=350 donc e3= 175
S4= 175+200=375 donc e4= 187.5
que représente la suite Vn? le compte courant ou l'épargne?
géométrique de raison q=1/2, ok
attention, tu n'as pas V0 mais V1
donc Vn=V1*q^(n-1)
4) Somme= V1 * (q^12 -1)/(q-1)= 200, aussi mais ça m'étonne...
5) comment trouves-tu 100*1.5^n?