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Sujet du devoir
1. Résoudre l'équation différentielle :2y'+y= 0 (E)
dont l'inconnue est une fonction définie et dérivable sur R.
2. O n considère l'équation différentielle :
2y'+y = e^-x/2 (x+1) (E')
a) Déterminer deux réels m et p tels que la fonction f définie sur R par :
f(x) = e^-x/2 (mx²+px) soit solution de (E')
b) Soit g une fonction définie et dérivable sur R .
Montrer que g est solution de l'équation (E')si, et seulement si, g-f est solution de l'équation (E).
Résoudre l'équation (E')
Où j'en suis dans mon devoir
Donc j'ai fait cela :1. 2y'+y = 0
2y'=-y
y'=-1/2y
Donc l'équation différentielle 2y'+y=0 a pour solution les fonctions f(x)=Ce^-x/2 avec C un réel quelconque.
2. a)
2f'+f= e^-x/2(x+1)
f(x) = e^-x/2(mx²+px)
f'(x) =2mxe^-x/2 + pe^-x/2
2f'(x) + f(x) = 2(2mxe^-x/2 +pe^-x/2)+mx²e^-x/2+pe^-x/2=e^-x/2(x+1)
=4mxe^-x/2 +2pe^-x/2 +mx²e^-x/2+p pe^-x/2 =...
xe^-x/2(4m+p) + e^-x/2(2p) + x²(me^-x/2)=xe^-x/2 +e^-x/2
par identification :
L1 : 4m+p=1 L1 : m=1(1-p)/4 L1 : m=3/4
L2 : 2p=1 L2 : p=1/2 p= 1/2
L3 : me^-x/2=0 L3
b) Donc je sais pas si avant c'est juste je vous avoue que je suis pas très sur pour m et p si vous pourriez vérifié et pour le b) m'explique comment faire la méthode car je n'ai pas compris du tout ...
Merci d'avance
5 commentaires pour ce devoir
f(x) = (mx²+px).e^-x/2
f(x) de la forme u.v
f'(x) = u'v+uv'
= (2m.x+p)e^-x/2 + (mx²+px).(-1/2).e^-x/2
= e^-x/2 . [2m.x + p -m.x²/2 - p.x/2]
= e^-x/2 . [2m.x + p - (m.x²+p.x)/2]
= e^-x/2 . (2mx+p) - e^-x/2 . (mx²+px)/2
donc
2.f'(x) + f(x) = 2. e^-x/2 . (2mx+p)
par identification on doit trouver que
2.(2m.x+p)= x+1
p=1 , m= 1/4
f(x) de la forme u.v
f'(x) = u'v+uv'
= (2m.x+p)e^-x/2 + (mx²+px).(-1/2).e^-x/2
= e^-x/2 . [2m.x + p -m.x²/2 - p.x/2]
= e^-x/2 . [2m.x + p - (m.x²+p.x)/2]
= e^-x/2 . (2mx+p) - e^-x/2 . (mx²+px)/2
donc
2.f'(x) + f(x) = 2. e^-x/2 . (2mx+p)
par identification on doit trouver que
2.(2m.x+p)= x+1
p=1 , m= 1/4
p=1/2, m=1/4
On suppose (g-f) solution de E
donc
2.(g-f)'+ (g-f)=0
d'ou
2.g' - 2.f' + g -f =0
2.g'+g = 2.f'+f
or f(x)=(x+1).e^-x/2 est solution de E' donc
2.g'+g = (x+1).e^-x/2 donc g est solution de E'
donc
2.(g-f)'+ (g-f)=0
d'ou
2.g' - 2.f' + g -f =0
2.g'+g = 2.f'+f
or f(x)=(x+1).e^-x/2 est solution de E' donc
2.g'+g = (x+1).e^-x/2 donc g est solution de E'
Pour la question a il faut que tu cherche sans le demontrer une solution particuliere à E'
b)Si g-f est solution de E alors 2(g-f)'+(g-f)=0 et la réciproque si g est solution de E' alors g-f solution de E
(Tres important de montrer la reciproque car c'est SI ET SEULEMNT SI)
Ensuite tu te sert des questions précédentes pour trouver la solution à E
J'espere t'avoir aidé
J'espere que cela t
b)Si g-f est solution de E alors 2(g-f)'+(g-f)=0 et la réciproque si g est solution de E' alors g-f solution de E
(Tres important de montrer la reciproque car c'est SI ET SEULEMNT SI)
Ensuite tu te sert des questions précédentes pour trouver la solution à E
J'espere t'avoir aidé
J'espere que cela t
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2.y' + y = (x+1).e^-x/2 ?
et que f(x) paut s'ecrire sous la forme
f(x) = (m.x²+px) . e^-x/2 ?