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Sujet du devoir
On se propose de déterminer toutes les onctions f déinies et dérivables sur l'intervalle I = ]0; +inf[ vérifiant l'équation différentielle : (E) xf'(x)-(2x+1)f(x)=8x²1a/ Démontrer que si f est solution de (E) alors la fonction g définie sur l'intervalle I par g(x)=f(x)/x et solution de l'équation différentielle (E') y'=2y+8
1b/ Démontrer que si h est solution de (E') alors la onction f définie par f(x)=xh(x) est solution de (E).
2/Résoudre (E') et en déduire toutes les solutions de (E).
3/ Existe t il une fonction f solution de l'équation différetielle (E) dont la représnetation graphique dans un repère donné passe par le point A(ln2;0) ? si oui, la préciser.
Où j'en suis dans mon devoir
rien puisque je bloque sur tout l'exercice. Merci de bien vouloir m'aider.j'ai fait seulement : g'(x)=2g(x)+8 mais sa avance à rien je pense ...
6 commentaires pour ce devoir
Merci beaucoup pour votre aide qui m'a vraiment débloquée.
voici ce que j'ai fait au 1b/ f(x)=xh(x) => h(x)=f(x)/x
soit h dérivale sur I.
h'(x)est un quotient de fonctions dérivables sur I. d'où h'(x)=(f'(x)x-f(x))/x²
h'(x)=h(x)+8
je remplace : (f'(x)x-f(x))/x² = 2(f(x)/x)+8
f'(x)x-f(x))/x² = (2f(x)+8x)/x
x²(2f(x)+8x)=(f'(x)x-f(x))x
2f(x)x²+8x^3=x²f'(x)-f(x)x
x(2f(x)x+8x²)=x(xf'(x)-f(x))
8x²=xf'(x)-f(x)-2f(x)x)
8x²=xf'(x)-(2x+1)f(x)
donc h est solution de (E)
2/ (E') : y'=2y+8
les fonctions solutions de (E') sont les onctions du type f(x)=ke^2x - 4
par contre pour en déduire les solutions de (E) je bloque.
voici ce que j'ai fait au 1b/ f(x)=xh(x) => h(x)=f(x)/x
soit h dérivale sur I.
h'(x)est un quotient de fonctions dérivables sur I. d'où h'(x)=(f'(x)x-f(x))/x²
h'(x)=h(x)+8
je remplace : (f'(x)x-f(x))/x² = 2(f(x)/x)+8
f'(x)x-f(x))/x² = (2f(x)+8x)/x
x²(2f(x)+8x)=(f'(x)x-f(x))x
2f(x)x²+8x^3=x²f'(x)-f(x)x
x(2f(x)x+8x²)=x(xf'(x)-f(x))
8x²=xf'(x)-f(x)-2f(x)x)
8x²=xf'(x)-(2x+1)f(x)
donc h est solution de (E)
2/ (E') : y'=2y+8
les fonctions solutions de (E') sont les onctions du type f(x)=ke^2x - 4
par contre pour en déduire les solutions de (E) je bloque.
bonne continuation
peux tu m'aider niceteaching. sa devient urgent ! merci
Bon, je vais t'aider encore un peu.
Tu as montré que si h(x) vérifie (E') alors f(x) = xh(x) est solution de (E).
h(x) = ke^(2x) - 4 (k réel, n'oublie pas de le noter !!!)
donc toutes les solutions de E sont : f(x) = xh(x) = x(ke^(2x) - 4) (tu développes)
La suite est immédiate car il suffit d'écrire : f(ln(2)) = 0 et de résoudre pour trouver k.
Niceteaching, prof de maths à Nice
Tu as montré que si h(x) vérifie (E') alors f(x) = xh(x) est solution de (E).
h(x) = ke^(2x) - 4 (k réel, n'oublie pas de le noter !!!)
donc toutes les solutions de E sont : f(x) = xh(x) = x(ke^(2x) - 4) (tu développes)
La suite est immédiate car il suffit d'écrire : f(ln(2)) = 0 et de résoudre pour trouver k.
Niceteaching, prof de maths à Nice
bonjour,
j'ai réussi à finir l'exercice grace à votre aide. merci beaucoup niceteaching.
pour toutes les solutions de E = x(ke^(2x)-4) est il obligatoire de développer ??
j'ai trouvé k=1 c'est la bonne réponse ?
j'ai réussi à finir l'exercice grace à votre aide. merci beaucoup niceteaching.
pour toutes les solutions de E = x(ke^(2x)-4) est il obligatoire de développer ??
j'ai trouvé k=1 c'est la bonne réponse ?
Ils ont besoin d'aide !
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Premier indice pour te débloquer...
g(x) = f(x) / x donc pour tout x non nul, f(x) = x*g(x)
En considérant g(x) dérivable sur I comme quotient de deux fonctions déribales sur I, alors :
f'(x) = x*g'x) + g(x)
Ensuite, tu reprends :
x*f'(x) - (2x+1)*f(x) = 8x² et tu remplaces f'(x) et f(x) !
x*(xg'(x) + g(x)) - (2x+1)*x*g(x) = 8x² et tu développes
Tu factorises ensuite par x² et tu aboutis à :
g'(x) - 2g(x) = 8
Donc g est solution de l'ED : y' = 2y + 8
A toi de jouer pour la suite !
Niceteaching, prof de maths à Nice