Exercice de maths sur les suites

Sujet du devoir

Bonjour ☻ Voici un exercices sur les suites qui me pose problème, j'aimerais bien comprendre comment le résoudre :

Exercice 1 :
On admet l'encadrement (E) : "pour tout réel x appartient à [0;pi], x-(x^3/6<=sin x<= x".
On pose pour tout n appartient à N*, u_n=sin (1/n²)+sin(2/n²)+...+sin (n/n²) et v_n=1/n² +2/n² +...+n/n².

L'objectif est d'étudier la convergence de la suite (u_n).

1. Déduire de l'encadrement (E) que, pour tout n appartient à N*, u_n<=v_n.
2. a) Justifier que pour tout n appartient à N*, 1^3+2^3+...+n^3<= n^4
b) En déduire, à l'aide de l'encadrement (E) que, pour tout n appartient à N*, v_n-(1/6n²)<=u_n
3. Montrer que lim v_n=1/2. En déduire que la suite (u_n) est convergente vers un réel que l'on précisera.

Merci pour votre aide!

Où j'en suis dans mon devoir

1. On a : x-(x^3/6)<=sin x<= x
Soit : sin x <= x
sin (x/x²)<= x/x²
Et donc : sin (1/x²) +sin (2/x²) +...+sin (x/x²)<= 1/x² +2/x²+...+x/x²

On en déduit que u_n<= v_n.

2. a ) Raisonnement par récurrence ? Mais dans ce cas quelle est l'hypothèse de récurrence ?
3. Je ne sais pas démontrer la limite de (v_n) mais si u_n<=v_n et v_n convergente alors la limite de v_n est telle que : limite u_n<=limite v_n.

Merci :)