exercice PGCD et suite

Sujet du devoir

Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant: "Étant donnés deux entiers naturels a et b non nuls, si PGCD (a;b)=1 alors PGCD (a²;b²)=1 "

une suite Sn est définie pour n>0 par Sn= sigma allant de p=1 à n p^3
On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nul n, le PGCD de Sn et Sn+1

1) Démontrer que, pour tout n>0, on a : Sn=(n(n+1)/(2))²

2) Étude du cas où n est pair
Soit K l'entier naturel non nul tel que n=2k

a- Démontrer que PGCD(S2k; S2k+1)= (2k+1)² PGCD (k²; (k+1)²)
b- Calculer PGCD (k, k+1).
c- Calculer PGCD (S2k, S2k+1).

3) Étude du cas où n est impair.
Soit k l'entier naturel non nul tel que n = 2k+1

a- Démontrer que les entiers 2k+1 et 2k+3 sont premiers entre eux.
b- Calculer PGCD (S2k+1, S2k+2).

4) Déduire des questions précédentes qu'il existe une unique valeur de n, que l'on déterminera, pour laquelle Sn et Sn+1 sont premiers entre eux.

Où j'en suis dans mon devoir

bonjour, 

je sais que pour la question 1 on fait par récurrence

mais dans l'ensemble je suis perdue

qlq pistes svp?