Système avec PGCD

Sujet du devoir

résoudre le système X>Y

                              X^2+Y^2=325

                              PGCD(x;y)=5

dans NxN

Je sais d'avance que les solutions de l'équation sont X=15 et  Y=10

Où j'en suis dans mon devoir

Bonjour :)

je pense avoir le début or je bloque après quelques étapes voici mon brouillon:

on a PGCD(x;y)=5, on a un couple d'entiers (x';y') premiers entre eux tel que X=5x'

                                                                                                                 Y=5y'

                                                                                                                 PGCD(x';y')=1

on a X>Y ---> 5x'>5y'

       x'>y' (car 5>0)

on a X^2+Y^2=325 ---> (5x')^2+(5y')^2=325

                              ---> (x')^2+(y')^2=13 (divisé par 25)

(x')^2 + (y')^2 et (x')^2 - (y')^2 sont deux diviseurs positifs de 13. D'après la règle des signes on a (x')^2 + (y')^2 > (x')^2 - (y')^2

Les diviseurs de 13 sont (-13; -1; 1; 13)

deux systèmes sont possibles : 

(x')^2 + (y')^2=-13      ou           (x')^2 + (y')^2=13

(x')^2 - (y')^2=-1         ou           (x')^2 - (y')^2=1

le premier étant impossible dans NxN, on se concentre sur le deuxième

voilà que je bloque avec ce système