Fonctions logarithmes en problèmes

Sujet du devoir

On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0;+inf[ par f(x)=(3/2)x²-x² ln x+1.

1. Déterminer la limite de f en 0 (on admet que la limite en 0 de la fonction x=> x ln x est 0).

2. Déterminer la limite de f en +inf (on pourra mettre x² en facteur dans l expression de f(x)).

3. On désigne par f' la dérivée de f.
a)Montrer que, pour tout x de ]0;+inf[, f'(x)=2x(1-ln x).
b)Etudier le signe de f'(x) suivant les valeurs de x.

4. Etablir le tableau de variation de f.

5.a) Justifier que l'équation f(x)=0 admet une unique solution alpha dans l'intervalle ]0;+inf[.
b)Déterminer un encadrement de alpha d'amplitude 10^-1

Où j'en suis dans mon devoir

1. f(x)=(3/2)2x-u'v+uv'
=(6/2)x-2x ln x +2x(1/x)
=3x-2x ln x +2x(1/x)
=3x-2x( ln x -1/x)