Fonctions numérique, déterminer deux réels a et b.

Sujet du devoir

Bonjour, j'ai un exercice à faire à la maison mais j'ai quelques difficultés.

Voici l'énnoncé :

Soit φ la fonction numérique de la variable réelle x telle que :

φ(x)= (3x²+ax+b)/(x²+1)

Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de φ soit tangente au point I de coordonnées (0;3) à la droite (T) d'équation y=4x+3

Où j'en suis dans mon devoir

J'ai fait ceci :

Sachant que le point I de coordonnées (0;3) cela donne f(0)=3

φ(x)=3 donc ---> φ(0)=[3(0)²+a(0)+b]/[(0)²+1]

Cela me donne b=3

Trouvez vous aussi cela ?

Puis je fait maintenant pour a, pour cela je fait la dérivée de φ ce qui me donne :
φ'(x)=(6x+a)/2x

Faut-il dériver le x²+1 ?

Je continu comme si il fallait le faire.
Je prend ensuite l'équation de la tangente T: y=4x+3 ce qui donne f'(3)=4

φ'(x)=4 ---> φ'(3)=6(3)+a/2(3)

φ'(3): (18+a)/6=4
φ'(3): (a/6)=1 donc a=6

Voilà ce que j'ai fait, pouvez vous me dire si ma méthode est "correcte", les "trucs" qui n'ont pas été bien réussi.