Les suites

Merci :) pour la question 1 c'est ok , j'avais oublié le "!"

Mais concernant le 2e question , j'ai toujours pas compris :

c'est bien ça ? http://i74.servimg.com/u/f74/18/98/04/49/rendre10.png

si oui , après ça donnera quoi ?

Ps : je m'excuse de vous poser toutes ces questions, je tiens a préciser que j'essaye aussi de résoudre cette exo de mon coté ...

nous sommes là pour répondre aux questions

le calcul est bien commencé,il faut arriver à une seule fraction

(n-1)! /n! se simplifie

il faut trouver ça ? 

http://i74.servimg.com/u/f74/18/98/04/49/rendre11.png

Merci :) pour la question 1 c'est ok , j'avais oublié le "!"

Mais concernant le 2e question , j'ai toujours pas compris :

donc d’après ce que tu viens d’écrire , c'est ça ?http://i74.servimg.com/u/f74/18/98/04/49/rendre10.png

En ai tu sur ? et après ça donnera quoi ? 

Ps : je m'excuse de vous poser toutes ces questions, je tiens a préciser que j'essaye aussi de résoudre cette exo de mon coté ...

Un = (n-1)!/n^(n-1)

Un+1 =n! /(n+1)^n

Donc Un/Un+1 = .../... ? ( (a/b)/(c/d) = (a/b)*(d/c) = (a*d)/(b*c) puis simplifies en utilisant le fait que n! = n*(n-1)! )

à la fin tu dois trouver (1 + (../..) )^n

Je commence a comprendre mais je bloque toujours a une certaine étape :

http://i74.servimg.com/u/f74/18/98/04/49/rendre11.png

Comment passer de ça à 1 + (../..) )^n ?

C'est ça, mais pourquoi tu ne continues pas et écrire n*n^(n-1) = n^n (au dénominateur) ? a^k*a = a^(k+1)

Après utilises ceci a^n/b^n = (a/b)^n

Puis tu simplifies entre parenthèses (a/b) pour trouver (1 + (1/..) )^n

Enfin tu utilises (1+x)^n >= 1+nx pour conclure

ahh mais oui , je suis bête x) du coup c'est sorti c'est bon , c'est sans dire que j'utilise la récurrence ?

1/ Pour le sens de variation , je dirais que :

Sachant que :

• Si pour tout naturel n, un+1 / un > 1, alors la suite (u) est croissante.
• Si pour tout naturel n, un+1 / un < 1, alors la suite (u) est décroissante.

La , on a Un/Un+1>=2 donc Un/Un+1>1 , en inversant les signes, on trouve :

    un+1 / un<1  alors la suite Un est décroissante

C'est ça ?

2/ Pour déduire que pour tout n non nul : Un=<1/2^(n-1)

je dois commencer de Un/Un+1>=2

mais comment arriver a 2^(n-1) au dénominateur

Je bloque ici : 

http://i74.servimg.com/u/f74/18/98/04/49/rendre12.png

pourquoi la récurrence ?

Un/Un+1 = [(n-1)!/n^(n-1)] * [(n+1)^n/n!]  = [ (n-1)! * (n+1)^n] / [n!*n^(n-1)] = [(n+1)^n] / [n*n^(n-1)] = [ (n+1)/n ]^n = (1+(1/n))^n

Donc Un/Un+1 = (1+(1/n))^n >= 1 +n*(1/n) ( là j'ai appliqué la relation donnée dans l'énoncé avec x = 1/n )

Sens de variation OK

Montrons que Un =< (1/2)^(n-1) ( Ici tu peux utiliser la récurrence mais on va le démontrer directement )

On a Un+1/Un =< 1/2 pour tout n. Donc

        Un/Un-1 =< 1/2

        Un-1/Un-2 =< 1/2

        Un-2/Un-3 =< 1/2

        .....

        ....

        U4/U3 =< 1/2

        U3/U2 =< 1/2

       U2/U1  =< 1/2

Maintenant tu multiplies membre à membre ces inégalités et tu simplifies

Tu trouves quoi?

Multiplier membres a membres les inégalités : U4/U3=<1/2 et U3/U2=<1/2 ? 

C'est correct de multiplier comme ceci ? 

(U4/U3)x(U3/U2)=<(1/2)^2

Oui c'est ça mais tu dois multiplier TOUTES les inégalités (Un/Un-1)*(Un-1/Un-2)*...*(U4/U3)*(U3/U2)*(U2/U1) < (1/2)^..

Puis tu simplifies. Remarque qu'on a Un-1 en numérateur et en dénominateur, Un-2 aussi, Un-3 aussi ... U3 aussi et U2 lui aussi donc que restera après simplification? Un/.. < (1/2)^..

multiplier TOUTES les inégalités ? Jusqu’où ? et puis je trouverai d’énormes nombres avant de simplifier non ?

(Un/Un-1)*(Un-1/Un-2)*(Un-2/Un-3)*...*(U4/U3)*(U3/U2)*(U2/U1) =< (1/2)^(n-1) car il existe n-1 termes et tous sont positifs

donc [ Un*Un-1*Un-2*Un-3* ... * U4*U3*U2 ] / [Un-1*Un-2*Un-3* ... * U3*U2*U1] =< 1/2^(n-1)

Tu simplifies (Tu vois bien que tous les termes sont au numérateur et au dénominateur sauf Un et U1)

Fais un exemple avec n=10.

U10/U9 < 1/2; U9/U8 < 1/2 ; ....; U3/U2 < 1/2 et U2/U1 < 1/2 multiplies membre à membre puis simplifies pour voir ce qui se passe

ahh oui j'avais bugué un peu ...

après simplification , nous avons : U10/U4=<(1/2)^(n-1)

Apres je deduis directement c'est ca ?

Pour la dernière question (limite de Un), ca sera pour - infini et + infini n'est ce pas ?

Pour l'exemple avec n=10 :

On multiplie membre à membre on obtient (U10/U9)*(U9/U8) * (U8/U7)*(U7/U6)*(U6/U5)*(U5/U4)*(U4/U3)/*(U3/U2)*(U2/U1) < 1/2^9

donc [ U10*U9*U8*U7*U6*U5*U4*U3*U2 ] / [U9*U8*U7*U6*U6*U5*U4*U3*U2*U1] < 1/2^9

donc [U10*(U9*U8*U7*U6*U5*U4*U3*U2) / (U9*U8*U7*U6*U6*U5*U4*U3*U2)*U1 ] < 1/2^9

donc U10/U1 < 1/2^9

Pour répondre à la question de l'exo :

Je continue à partir de "donc [ Un*Un-1*Un-2*Un-3* ... * U4*U3*U2 ] / [Un-1*Un-2*Un-3* ... * U3*U2*U1] =< 1/2^(n-1)"

donc Un/U1 < 1/2^(n-1) ( on a simplifié )

U1 =1 donc Un < 1/2^(n-1)

Pour la limite

Lorsque on parle des suites, la limite on la cherche toujours lorsque n tend vers +inf (et non -inf )

On a Un > 0 pour tout n>0  (Regardes l'expression de Un donnée dans l'énoncé)

Donc 0< Un < 1/2^(n-1) ( d'après la question précédente)

la limite de Un est donc ?? ( quel théorème ou résultat du cours tu dois appliquer?)

Faute de frappe pour U10/U4 au lieu de U10/U1

Pour répondre a la question je ne dois pas forcement donner l'exemple avec n=10, n'est ce pas ?

Mais la si tu regarde bien, apres simplification, on trouve (UnxU4)/U1

Car dans le numerateur, il reste Un et U4, dans le denominateur, il reste U1...

Pour la limite, j'utilise le théorème de comparaison, la limite est 0.

Normalement c'est bon, j'ai compris, alors pour utiliser la recurrence pour la deuxieme partie de la question 2 :

Initialisation :

U1=1

   1=<1/2^1-1

   1=<1 (initialisée )

Heredite :

On a Un+1/Un=<1/2 pour tout n, donc :

(Un/Un-1)*(Un-1/Un-2)*(Un-2/Un-3)*....*(U4/U3)*(U3/U2)*(U2/U1)=<(1/2)^(n-1)

Alors nous aurons :

(Un*Un-1*Un-2*Un-3*....*U4*U3*U2)/(Un-1*Un-2*Un-3*....*U4*U3*U2*U1)=<(1/2)^(n-1)

Apres simplification, nous aurons donc :

Un/U1=<(1/2)^(n-1)

Sachant que U1=1 par consequent Un=<(1/2)^(n-1) donc :

Un=<1/2^(n-1)   (Héréditaire) 

C'est correct mon cher ? 

On a répondu à tout l'exercice tu n'a rien à ajouter ( on a répondu à la question 2 deuxième partie avec la multiplication membre à membre des inégalités obtenues) sans utiliser la récurrence puisque il est pas demandé spécifiquement d'utiliser la récurrence.

Ce que tu as écris dans la partie 'Héridité' constitue tout seul une réponse à la question.

Mais si tu veux utiliser la récurrence pour répondre à la deuxième partie de la question 2 voici comment :

On cherche à montrer par récurrence que Un =< 1/2^(n-1) pour tout n (Il faut écrire cette phrase )

Initialisation : OK tu as bon

Hérédité : Supposons que Un =< 1/2^(n-1) pour un certain n fixé. Montrons que Un+1 =< 1/2^n

On a Un/Un+1>= 2 ( d'après la première partie de la question 2)

Donc Un+1 =< (1/2)*Un

Puisque Un =< 1/2^(n-1) par hypothèse de récurrence, alors Un+1 =< (1/2)*Un =< (1/2)*(1/2)^(n-1)

Donc Un+1 < 1/2^n

Conclusion : Un < 1/2^(n-1) pour tout n.

oui oui j'avais zappé la rédaction volontairement.

il faut qu'ils m’écrivent "récurrence" pour l'appliquer ? si ce n'est pas demander , je ne la fait  donc pas ...

Si si tu peux appliquer la récurrence quand c'est possible. Je t'ai seulement dit que c'est pas demandé ici ( l'énoncé ne dit pas que tu es obligé d'utiliser la récurrence) pourquoi donc chercher à l'utiliser alors qu'on a déjà répondu à la question?  Mais c'est bien si tu cherches à savoir comment l'appliquer et savoir répondre à une question avec plusieurs méthodes différentes.

D'accord merci infiniment.