Les suites

Bonjour,

Pas mal l'idée de la récurrence, mais lis mieux l'énoncé : on t'invente une fonction f, qui a des trucs à voir avec ta suite, nan ?

Essaie de trouver un lien entre les deux, et je t'aiderai pour la suite.

merci pour l'aide stonedbike.

alors on peut dire quepour tout n non nul, f(x)=Un
d'après 1a) f(x) est majorée par 2/racine(2) qui est supéieur à racine(2). donc un est supérieur à racine(2).

2b/ je bloque. j'ai commencé à dire que f(x)=Un et que d'après 2a) un est majorée par racine(2) mais je ne sais pas où sa peut me mener ...

non Un n'est pas égal à f(x) (ce serait qui, x ?)

Bon je te donne la formule parce qu'elle est assez facile à trouver et indispensable pour le reste :
Un+1 = 0,5(Un + 2/Un) ; tu dois ici reconnaitre l'image par f, non pas de x, mais de Un ( f(Un) = 0,5(Un + 2/Un) )
donc Un+1 = f(Un)

ensuite, f n'est pas majorée : majorée signifie qu'il existe un nombre M fixe tel que pour tout x, f(x) < M ; or tu as vu qu'en 0 et en +oo, f admet +oo comme limite (donc quelque soit le M choisi, il existera un x tel que f(x) > M, puisque f(x) tend vers l'infini à deux reprises - donc f n'est pas majorée)

mais tu as du confondre avec "minorée", je suppose : f l'est effectivement, par f(V2) (il faudra expliquer pourquoi à l'aide du tableau de variation) ;
or f(V2) = 0,5( V2 + 2/V2 ) = 0,5( V2 + V2 ) = V2
Donc pour tout x, f(x)>=V2. (V c'est racine carrée)

Ensuite, tu sais que pour tout n>=0, Un+1 = f(Un) ; ça veut dire que tous les termes de la suite à partir de U1 sont l'image par f d'un nombre, est-ce que tu comprends ça ? (c'est la clef de la question) ; si c'est le cas, alors il ne te reste plus qu'à conclure en utilisant le résultat trouvé sur f.

2-b. tu te compliques la vie. Ne t'occupe plus de Un avec cette question, garde juste à l'esprit f (*) ; tiens voilà un coup de main pour le faire :
résoudre une inéquation, c'est trouver tous les nombres x tels que l'inégalité est vraie (tu veux bien savoir si une inégalité est vrie ici, non ? - et bin cherche à connaitre les x pour lesquels elle est vraie, en la résolvant)

(*) f a juste été introduite pour aider à prouver des trucs sur Un, et pas l'inverse.

donc pour 2a/ alors comme f est minorée par V2 alors Un+1 sera minorée par V2.

* oui j'ai confondu majorée avec minorée !

2b)j'ai résolu l'inéquation f(x) =< x
donc sa fait après différents calculs -x²+2=<0
après calcul discriminant et tableau de signe de -x²+2 et je trouve que f(x)=

pour 3/ comment justifier que L=x ??

Je ne comprends pas trop le premier raisonnement d'augustin.
Un n'est effectivement pas l'image par f de n, mais on a quand même f(Un) = Un+1.
Le sens de variation de f n'est donc pas déterminant ici, mais comme f(x) <= x pour tout x supérieur à V2, alors f(Un) <= Un (puisque tu as montré avant que Un >= V2)
et qui est f(Un) ?

et pour le 3 tu utilises le fait que la suite converge et que Un+1 = 0,5(Un + 2/Un) pour écrire que les limites quand n tend vers l'infini de chacun de ces deux membres (existent et) sont aussi égales, d'où l'équation en L qu'on te demande.

merci pour l'aide.

j'ai fait la question 2a) grace à stonedbike.

il me reste que la question 2b) et 3/ à faire.

pour la 2b/, f(Un)=Un+1 <=> Un+1 =

2-b.
Ah non, f(Un)=Un+1 n'est pas équivalent à dire que Un+1 =
Mais je te suis pas vraiment en fait, puisque tu l'as déjà faite la 2-b :

"j'ai résolu l'inéquation f(x) =< x
donc sa fait après différents calculs -x²+2=<0
après calcul discriminant et tableau de signe de -x²+2 et je trouve que f(x)=