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Sujet du devoir
Bonjour, voici l'énnoncé de mon DM :F(x) = 2lnx/x - 1/x.
1) Déterminer les limites de f en +infini et en 0.
2) étudier les variations de f.
3) trouver les coordonées exactes du points d'intersection de f(x) avec l'axe (Ox).
4) On considere la fonction G (x) = (lnx)²
a) calculer G'(x)
b) En déduire la valeur exacte en unités d'aire de l'aire A du domaine limité par la courbe C, l'axe Ox et les droites d'équations x=e^1/2 et x=e^3/2
Où j'en suis dans mon devoir
1) lim de f(x) en +infini = 0 car lim de 2lnx/x = 0 et -1/x =0 ( mais je ne suis pas sure de ma rédaction ) et lim de de f(x) en 0 = -infini car lim 2lnx/x = 0 et -1/x = -infini.2) pour cette question je n'arrive pas a trouver la dérivée enfin j'ai toruvé 2x+2lnx+1/x² mais je ne suis pas sure.
3) je ne comprend pas
4a) G'(x) = 2lnx/x
4b) je ferais l'intégrale de [ 2lnx/x ] aux bornes de e^3/2 en haut et e^1/2 en bas.
Merci d'avance pour votre aide.
3 commentaires pour ce devoir
ensuite tu intègres G(x) et non pas G'(x)
A(x)= xln²x-2xlnx-2x
A= (1/2)(e^(1/2))(1+e)
A(x)= xln²x-2xlnx-2x
A= (1/2)(e^(1/2))(1+e)
1)lim lnx/x=0 car x l'emporte sur lnx qd x tend vers +infini
x->+00
Il est évident que lim 1/x=0 (1/+00 ~ 0)
x->+00
D'où lim F(x)=0
x->+00
On a pour tout réel strictement positif x, F(x)=1/x(2lnx - 1).
Comme lim 1/x = +infini et
x->0+
lim 2lnx-1 = -infini alors lim F(x)= -infini
x->0+ x->0+
(limite d'un produit = produit des limites qd il n'y a pas d'indétermination)
2)Ecrire F(x) sous forme de produit de fonctions g et h
où g(x)= 1/x et h(x)=2lnx-1
F=gh => F'=g'h+gh'
Pour tt x >0, g'(x)=-1/x² et
h'(x)=2/x
D'où F'(x)=(1-2lnx)/x² + 2/x² = (3-2lnx)/x²
Le dénominateur étant un carré, il est strictement positif sur IR+*. Le signe de F'(x) est donc celui du numérateur : 3-2lnx.
Donc F'(x)>=0 <=> 3>=2lnx
<=> lnx<=3/2
<=> x<=exp(3/2)
On en déduit que : F'(x)=0 <=> x=exp(3/2)
F'(x)>0 <=> x
F est croissante à gauche de exp(3/2) et décroissante à droite de ce dernier. Elle admet un maximum à ce même point.
3) Soit I(x,F(x)) le point d'intersection de la courbe de F et l'axe (Ox) qui est l'axe des abscisses, alors
F(x)=0.
c-à-d. 1/x(2lnx - 1) = 0, or 1/x # 0, donc 2lnx - 1=0 et x=exp(1/2)
D'où le point I(exp(1/2),0).
4) a) G(x) = (lnx)² Donc G'(x) = 2(lnx)(lnx)' = (2lnx)/x
b) D'après a) F(x) = G'(x) - 1/x = G'(x) - (lnx)' = (G(x) - lnx)'
Ainsi (G - ln) une primitive de F.
Par conséquent l'aire A du domaine en question est
l'intégral de F sur l'intervalle [exp(1/2),exp(3/2)]:
A = G(exp(3/2))-ln(exp(3/2)) - [G(exp(1/2))-ln(exp(1/2))]
= (3/2)² - 3/2 - (1/2² - 1/2)
= 1
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x->+00
Il est évident que lim 1/x=0 (1/+00 ~ 0)
x->+00
D'où lim F(x)=0
x->+00
On a pour tout réel strictement positif x, F(x)=1/x(2lnx - 1).
Comme lim 1/x = +infini et
x->0+
lim 2lnx-1 = -infini alors lim F(x)= -infini
x->0+ x->0+
(limite d'un produit = produit des limites qd il n'y a pas d'indétermination)
2)Ecrire F(x) sous forme de produit de fonctions g et h
où g(x)= 1/x et h(x)=2lnx-1
F=gh => F'=g'h+gh'
Pour tt x >0, g'(x)=-1/x² et
h'(x)=2/x
D'où F'(x)=(1-2lnx)/x² + 2/x² = (3-2lnx)/x²
Le dénominateur étant un carré, il est strictement positif sur IR+*. Le signe de F'(x) est donc celui du numérateur : 3-2lnx.
Donc F'(x)>=0 <=> 3>=2lnx
<=> lnx<=3/2
<=> x<=exp(3/2)
On en déduit que : F'(x)=0 <=> x=exp(3/2)
F'(x)>0 <=> x
F est croissante à gauche de exp(3/2) et décroissante à droite de ce dernier. Elle admet un maximum à ce même point.
3) Soit I(x,F(x)) le point d'intersection de la courbe de F et l'axe (Ox) qui est l'axe des abscisses, alors
F(x)=0.
c-à-d. 1/x(2lnx - 1) = 0, or 1/x # 0, donc 2lnx - 1=0 et x=exp(1/2)
D'où le point I(exp(1/2),0).
4) a) G(x) = (lnx)² Donc G'(x) = 2(lnx)(lnx)' = (2lnx)/x
b) D'après a) F(x) = G'(x) - 1/x = G'(x) - (lnx)' = (G(x) - lnx)'
Ainsi (G - ln) une primitive de F.
Par conséquent l'aire A du domaine en question est
l'intégral de F sur l'intervalle [exp(1/2),exp(3/2)]:
A = G(exp(3/2))-ln(exp(3/2)) - [G(exp(1/2))-ln(exp(1/2))]
= (3/2)² - 3/2 - (1/2² - 1/2)
= 1
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2)La dérivée de de F(x) est F'(x)= [2-lnx]/x²
F'(x)=0 pour lnx =2 ou x= e²
3)F(x)=0 pour 2lnx=1 soit pour x=e^(1/2)
4)
a) G(x)= (lnx)² dérivée 2UU4 ----> G'(x)= (2/x) lnx
b) si (C) est la courbe de G(x) alors: