Triangle équilatéral / Carré / Fonctions de x

Sujet du devoir

Soit un segment [OA] de longueur donnée. On choisit OA = 10 cms et M un point de ce segment. Du même côté de [OA], on construit le triangle équilatéral OTM et le carré AMNP. On pose OM = x
1 Quelle est l'intervalle des valeurs possibles de x?
2 Exprimer en fonction de x la hauteur du triangle équilatéral
3 En déduire la somme f(x) des aires du triangle et du carré
4 Donner le sens de variation de f(x)
5 Donner la valeur exacte minimum de f(x)

Où j'en suis dans mon devoir

J'ai fais la question 1: Sachant que OA = 10 cm, que M appartient au segment [OA] et de part la présence du triangle équilatéral OTM et du carré AMNP, les valeurs de x sont les suivantes : ]0;10[
Question 2: je sais que la hauteur du triangle équilatéral correspond à sa médiane et que par conséquent elle coupe [OM] en deux parties égales. Nous pouvons dire qu'elle coupe ce dernier en H. J'utilise ainsi Pythagore connaissant TM=x TH= 1/2x et je cherche TH. Je bloque sur ce résultat ce qui m'empêche d'avancer dans mon devoir.

Je pense que tout cela tend à nous mener vers une fonction polynomiale du second degré, le signe de a nous permettant de pouvoir affirmer le sens de variation de f(x).

Merci d'avance aux personnes qui pourront m'apporter leur aide.